검정통계량: 통계적 검정에서 중요한 개념

통계학에서 검정통계량(Test Statistic)은 주어진 데이터가 어떤 가설을 검정하기 위해 사용되는 핵심적인 값입니다. 이 값은 우리가 설정한 귀무가설(null hypothesis)을 채택할지, 아니면 대립가설(alternative hypothesis)을 채택할지 결정하는 중요한 기준이 돼요.

오늘은 검정통계량이 무엇인지, 그리고 어떻게 활용되는지에 대해 쉽게 설명해보겠습니다.

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1. 검정통계량이란?

검정통계량은 주어진 데이터로부터 계산되는 수치적 지표로, 특정 가설이 맞는지를 검토하는 데 사용됩니다. 이 값은 귀무가설이 참일 때, 데이터를 통해 우리가 얼마나 그 가설로부터 벗어났는지를 나타냅니다.

• 귀무가설(H₀): "차이가 없다", "효과가 없다", "변화가 없다"는 가설
• 대립가설(H₁): "차이가 있다", "효과가 있다", "변화가 있다"는 가설

검정통계량의 값은 Z, t, χ²와 같은 여러 형태로 존재할 수 있으며, 이는 검정 방법에 따라 다릅니다.

 

2. 검정통계량의 종류

검정통계량은 주로 정규분포 또는 t-분포와 같은 분포를 따릅니다. 각각의 검정통계량은 특정 가설 검정에서 사용됩니다.

2.1 Z-검정 통계량

Z-검정은 모집단의 표준편차를 알고 있는 경우에 사용되며, 검정통계량은 다음과 같습니다:

import numpy as np

# 예시 값들
sample_mean = 94       # 표본 평균
population_mean = 100  # 모집단 평균 (귀무가설)
std_dev = 15           # 모집단 표준편차
sample_size = 10       # 표본 크기

# Z-검정 통계량 계산
z_statistic = (sample_mean - population_mean) / (std_dev / np.sqrt(sample_size))
t_statistic = (sample_mean - population_mean) / (sample_std / np.sqrt( len(sample) ))

print("Z-검정 통계량:", z_statistic)

 

시계열 데이터와 검정통계량

시계열 데이터에서도 검정통계량은 유용하게 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 이동평균선을 구하고, 이를 모집단 평균(예: 1년 동안의 평균)과 비교하여 변화가 유의미한지 여부를 검정할 수 있습니다. 이런 경우에 t-검정이나 Z-검정을 사용하여, 이동평균이 주어진 평균과 차이가 있는지 검정할 수 있습니다.

시계열 데이터를 위한 검정통계량 사용 예시

1. 주식 가격의 평균 변화:
   • 귀무가설(H₀): 주식의 1주 평균과 1년 평균이 차이가 없다.
   • 대립가설(H₁): 주식의 1주 평균과 1년 평균이 유의미하게 다르다.
   • 이때, 1주 평균과 1년 평균을 비교하여 검정통계량을 구하고, 이를 통해 귀무가설을 기각할지 결정할 수 있습니다.
2. 기후 데이터의 변화:
   • 귀무가설(H₀): 기온의 1년 평균과 현재 1주 평균이 동일하다.
   • 대립가설(H₁): 기온의 1년 평균과 현재 1주 평균이 다르다.
   • t-검정 또는 Z-검정을 통해, 1주 평균이 1년 평균과 차이가 있는지 검정통계량을 계산하여 결과를 분석합니다.

결론

시계열 데이터에서도 검정통계량은 가설을 검증하는 데 중요한 역할을 합니다. 이동평균선, 특정 시간 구간의 평균값을 비교하는 등, 시계열 분석에서 모집단 평균과 비교하여 차이가 유의미한지 분석할 때 사용됩니다. 따라서 시계열 데이터를 다룰 때도 검정통계량을 통해 유의미한 변화나 패턴을 검정할 수 있다는 점이 매우 중요합니다.

 

*Z-검정 (Z-test)**와 **T-검정 (T-test)**가 나뉘는 이유는 주로 표본의 크기와 모집단의 표준편차 정보에 따라 달라집니다. 이 두 검정은 모두 검정통계량을 계산하는 방식에서 차이가 있는데, 그 이유를 살펴보면:

1. 모집단 표준편차 정보의 유무:

• Z-검정은 모집단의 표준편차가 알려져 있을 때 사용합니다. 이는 이론적으로 모집단에 대한 충분한 정보가 주어졌을 때 적용할 수 있습니다.
• T-검정은 모집단의 표준편차가 알려지지 않고 표본의 표준편차로 추정해야 할 때 사용합니다. 실제로 대부분의 경우 모집단의 표준편차는 알려져 있지 않으므로, 표본을 통해 추정한 표준편차를 사용해야 합니다.

2. 표본 크기:

• Z-검정은 표본 크기가 크게 30 이상일 때 사용합니다. 큰 표본에서는 중심극한정리에 의해 표본의 평균 분포가 정규분포에 근접하게 되기 때문에, 모집단의 표준편차를 사용하여 검정을 할 수 있습니다.
• T-검정은 표본 크기가 작은 경우(보통 30개 미만)에도 사용됩니다. 작은 표본에서는 표본이 모집단을 대표하는 정도가 불확실하기 때문에, 표본의 표준편차로 검정통계량을 계산하고, 이를 t-분포로 비교합니다.

3. 분포의 차이:

• Z-검정에서 사용하는 Z-분포는 정규분포로, 표본 크기가 크면 거의 정규분포를 따르게 됩니다. 표본이 충분히 크다면, 표본의 평균 분포는 정규분포에 근사하게 되기 때문에 Z-검정을 사용할 수 있습니다.
• T-검정에서는 T-분포를 사용합니다. T-분포는 표본 크기가 작을 때 더 뾰족하고 두꺼운 꼬리를 가진 분포입니다. 표본 크기가 커질수록 T-분포는 Z-분포와 비슷해지며, 그 이유는 표본 평균이 더 정밀해지기 때문입니다.

4. Z와 T 검정의 사용 조건:

• Z-검정: 모집단의 표준편차가 알려져 있고, 표본 크기가 충분히 크다면 Z-검정을 사용합니다.
• T-검정: 모집단의 표준편차를 모를 때나 표본 크기가 작을 때는 T-검정을 사용합니다.

결론:

• Z-검정과 T-검정은 둘 다 모집단 평균에 대한 가설을 검증하는 방법이지만, 모집단의 표준편차 정보와 표본 크기가 중요한 역할을 합니다. 모집단의 표준편차가 알려져 있고 표본 크기가 크면 Z-검정을 사용하고, 표본 크기가 작거나 모집단의 표준편차가 알려지지 않으면 T-검정을 사용합니다